VCE高数 | 11月必考题导数你都掌握了吗？
VCE高数最难、最重要话题【导数”的超干货解析，仔细看完11月考试不慌啦
同学们，中秋快乐！
中秋假期是VCE高数总复习的好时机哦
大家一边吃月饼一边来看这期的干货分享吧～
今天我们主要来讲一下
VCE高数中的导数章节
最重要也是最难的部分：
First derivative 和Second derivative
在函数图像上的应用
VCE高数这一章节主要是Differentiation and rational functions。即如何通过一阶导数和二阶导数判断函数的增减性，凹凸性，驻点（stationary point）与拐点（point of inflection）的位置和类型，进而画出完整的图像
一、一阶导数和二阶导数的关系
1、一阶导数>0
我们可以从这个表格上清晰地了解到，当一阶导数大于0，二阶导数也大于0的时候，图像是一个增函数，并且增长率越来越大（即图像越来越陡）；反之，当一阶导数大于0，二阶导数小于0的时候，图像是仍然是一个递增的趋势，但是增长得比较缓慢。2、一阶导数<0
同理，当一阶导数小于0的时候，无论二阶导数大于还是小于0，图像的整体趋势是一个递减的，只不过是递减的速率不同。那么，我们可以用简单的话来记住：一阶导数决定函数图像的增减性，二阶导数决定函数图像增减的速率（即，凹凸性）。在物理层面的意义上可以理解为，一阶导数代表速度，二阶导数则为加速度。
3、一阶导数=0
我们依旧可以从这个图中看出，当一阶导数为0时，如果二阶导数大于0，则该点为local minimum（极小值），图像是凹下去的；反之，如果二阶导数小于0，则该点为local maximum（极大值），图像是凸出来的。这就印证了前面提到过的，二阶导数决定函数图像的凹凸性。
4、二阶导数=0
二阶导数为0的点是函数图像增长（减小）率变化的点，即图像凹凸性变化的点。我们可以从表格看出，当一阶导数大于0，二阶导数等于0时，图像整体为一个增长趋势，但是在二阶导数为0的那个点时，图像的增长率发生了变化，可以是从缓慢增长到陡然增长，也可以是从陡然增长变到缓慢增长。
同理，当一阶导数小于0，二阶导数为0时也是这样，只不过是图像整体是一个递减的趋势。
这是因为，一阶导数决定图像的增减性，二阶导数决定图像的凹凸性
5、一阶导数=0；二阶导数=0
那么，再请同学们想一想，当一阶导数和二阶导数都为0的时候呢？这个点被称为Stationary point of inflection，平稳的拐点。因为当一阶导数为0时，图像在该点处的斜率为0，图像在此处周围呈一个相对平缓的趋势。
二、什么是驻点，极值点，拐点？
1、驻点（stationary point）：一阶导数为0的点，即f’(x)=0
2、极值点：函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值的点。
3、拐点（point of inflection）：函数图像凹凸性改变的点
注意：
（1）极值点不一定是驻点。如y=|x|，在x=0点处不可导，故不是驻点，但是极(小)值点。
（2）驻点也不一定是极值点。如y=x³，在x=0处导数为0，是驻点，但没有极值，故不是极值点。
三、如何判断驻点的类型？
一阶导数为0的时候，二阶导数大于0即为local minimum，小于0即为local maximum，这一点我们上面已经介绍过，此处我们着重讲第三点，即一阶导数和二阶导数都为0时，该点到底是个什么点呢？
我们来看两道VCE高数例题，理解一下：
这是一个非常经典的例子，f(x)=x^4。我们很简单地可以得出f’(x)=0时，x为0。f”(x)=0时，x也为0。那么此刻我们无法判断x=0这个点是个什么点，我们需要进一步的计算。我们取x=0周围的两个点，即1和-1这两个点，我们通过计算发现f（-1）=1，f（1）也等于1，而f（0）=0，它显然被夹在中间，那么这个点就不是拐点，而是极小值点。
我们再看另外一个VCE高数例题
一阶导数为0的点分别是-1/2和1，那么通过计算该两个点的二阶导，我们发现f”(-1/2)=10>0, 通过上面的表格我们可以得出，该点为local minimum。
但是，另一个点f”(1)=0，我们无法判断，需要进一步计算，我们取1周围的两个点，0和2，通过计算f（0）与f（2）的值，发现f(0)
通过上述两个例子我们可以得出一个很重要的结论就是：二阶导数为0的点不一定是拐点
判断该点的类型时，取它左右两个临近的点，计算这两个点的函数值，进而判断这个点的类型。
今天的VCE高数分享就到这里啦！
希望对大家的导数图像部分有所帮助！
学好这个章节就是需要牢记概念与定义
对函数图像有清晰的认识
如果有任何问题，欢迎联系我们～
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